如你所知，并非所有数的算术平方根都是整数。

有一些数开平方是整数。比如，我们都知道100的算术平方根是整数10：

再比如，256 的算术平方根是16：

但更多情况下，开平方的结果不是整数。比如，

显然没有任何一个整数的平方是11。对11开平方，将会得到一个小数，确切说是一个无限不循环的小数，或无理数。

如果你手边有计算器，计算这样的开平方非常简单。你一定听说过古希腊著名的数学家阿基米德。他在研究曲线问题时，经常会遇到手算开平方的问题。如果只给你纸和笔，手动去估算一下 11 的算术平方根，要怎么做呢？答案就是一个字：猜！

当然不是乱猜：先框定一个大范围

就以数字11为例，我们知道 11 开平方的结果，一定在 3 和 4之间的，因为3的平方是9，4的平方是16:

猜一个范围内的数字，然后验证

有了大范围，就在这个范围内猜一个数字，比如3.5，

这个计算是可以在纸上演算的，甚至可以口算。此时，发现 12.25