监管驾校的是交通运输部和公安部，其主管部门是交通运输部。

根据《中华人民共和国道路交通安全法》第二十条规定，机动车的驾驶培训实行社会化，由交通主管部门对驾驶培训学校、驾驶培训班实行资格管理。